Question

已知圓O：x²+y²=1，圓C：（x-2）²+（y-4）²=1．在兩圓外一點(diǎn)P（a，b）引兩圓切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，滿(mǎn)足|PA|=|PB|．
（1）求實(shí)數(shù)a，b間的關(guān)系式．
（2）求切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的最小值．
（3）是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切，若存在求出圓P的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接PO，PC，利用|PA|=|PB|．結(jié)合半徑，推出實(shí)數(shù)a，b間的關(guān)系式．
（2）利用（1）的結(jié)論，通過(guò)勾股定理求出切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的表達(dá)式，利用配方法求出最小值．
（3）設(shè)存在以P為圓心的圓，設(shè)出半徑，利用|PC|=|PO|+2，結(jié)合勾股定理推出

a2+b2

=4-(a+2b)=-1＜0，說(shuō)明故滿(mǎn)足條件的圓不存在．

解答：解：（1）連接PO，PC，∵|PA|=|PB|，|0A|=|CB|=1，
∴|PO|²=|PC|²從而a²+b²=（a-2）²+（b-4）²，a+2b-5=0．
（2）由（1）得a=-2b+5
∴|PA|=

|PO|2-|OA|2

=

a2+b2-1

=

5b2-20b+24

=

5(b-2)2+4

當(dāng)b=2時(shí)，|PA|_min=2．
（3）若存在，設(shè)半徑為R，則有|PO|=R-1，|PC|=R+1，于是|PC|=|PO|+2，
即

(a-2)2+(b-4)2

=

a2+b2

+2
整理得

a2+b2

=4-(a+2b)=-1＜0
故滿(mǎn)足條件的圓不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，存在性問(wèn)題的解法，考查計(jì)算能力，推理能力．