Question

已知函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，常數(shù)）.
（1）若對任意，恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，試討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（3）求證：對任意的，不等式成立.

Answer 1

（1）；（2）在區(qū)間（3）見解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解函數(shù)最值問題和不等式的證明。主要是對于承參數(shù)問題的分類討論思想要深刻體會。
解：（1）由對任意恒成立，即對任意恒成立
令則 得
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， ----------------（2分）
得
..---------（1分）
（2）由（1）知   此時(shí),

故在區(qū)間.----------（3分）
（3）由（2）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí).即即.
從而，對任意成立.--------------------- -------（2分）
于是