Question

【題目】已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值，最小值，設(shè)函數(shù).

（1）求的值；

（2）不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值，通過a與0的大小討論，列出方程，即可求a，b的值；

（2）轉(zhuǎn)化不等式f（2x）﹣k2x≥0，為k在一側(cè)，另一側(cè)利用換元法通過二次函數(shù)在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求實數(shù)k的取值范圍；

（3）化簡方程f（|2x﹣1|）+k（3）＝0，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點的個數(shù)，利用方程有三個不同的實數(shù)解，推出不等式然后求實數(shù)k的取值范圍．

解：（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，

∵a＞0，∴g（x）在[2，3]上為增函數(shù)，

故，可得 ，．

∴a＝1，b＝0

（2）方程f（2x）﹣k2x≥0化為2x2≥k2x，

k≤1

令t，k≤t2﹣2t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t，記φ（t）＝t2﹣2t+1，

∴φ（t）min＝φ（1）＝0，

∴k≤0．

（3）由f（|2x﹣1|）+k（3）＝0

得|2x﹣1|（2+3k）＝0，

|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，

令|2x﹣1|＝t，則方程化為t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），

∵方程|2x﹣1|（2+3k）＝0有三個不同的實數(shù)解，

∴由t＝|2x﹣1|的圖象（如圖）知，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有兩個根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，

記φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），

則或　

∴k＞0．