Question

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長(zhǎng)，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）先把表示出來(lái)，得，同理，從而命題得證.

解析試題分析：（Ⅰ）先利用到直線的距離得，求出，再求出，從而得橢圓方程為；（Ⅱ）先利用為直角三角形，求出，又，可得，同理得，所以，同理可得，繼而得到.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則到直線的距離為，即
，                 （2分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/72/7/um0zc.png" style="vertical-align:middle;" />在圓內(nèi)，所以，故；                 （4分）
因?yàn)閳A的半徑等于橢圓的短半軸長(zhǎng)，所以，橢圓方程為.      （6分）
（Ⅱ）因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓相切，是切點(diǎn)，故為直角三角形，所以，
又，可得，                    （7分）
，又，可得，        （9分）
所以，同理可得，            （11分）
所以，即.      （12分）
考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用.