Question

函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，f（-1）=0，且對任意實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則

2010

k=0

f(

k

2

)的值是

0

．

Answer 1

分析：從xf（x+1）=（1+x）f（x）結(jié)構(gòu)來看，要用遞推的方法，先用賦值法求得，再由依此求解．

解答：解：由xf（x+1）=（1+x）f（x），得-

1

2

f(

1

2

)=

1

2

f(-

1

2

)，
又f（x）為偶函數(shù)，所以f(

1

2

)=0，
則

1

2

f(

3

2

)=

3

2

f(

1

2

)，所以f(

3

2

)=0，以此類推，可得f（

1

2

）=f（

3

2

）=…=f（

2009

2

）=0，
f（1）=f（-1）=0，
所以1•f（2）=2f（1），所以f（2）=0，
由2f（3）=3f（2），得f（3）=0，以此類推，可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（1005）=0，
由0•f（1）=1•f（0），得f（0）=0，
所以

2010

k=0

f(

k

2

)=f（0）+f（

1

2

）+f（1）+f（

3

2

）+…+f（

2009

2

）+f（1005）=0，
故答案為：0．

點評：本題主要考查利用函數(shù)的主條件用遞推的方法求函數(shù)值，這類問題關(guān)鍵是將條件和結(jié)論有機地結(jié)合起來，作適當(dāng)變形，把握遞推的規(guī)律．