Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{7π}{4}$）+cos（x-$\frac{3π}{4}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）已知f（α）=$\frac{6}{5}$，0＜α＜$\frac{3π}{4}$，求f（2α）的值．

Answer 1

分析 （1）先利用兩角和余差的基本公式或誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)f（x）的最小值．
（2）根據(jù)f（α）=$\frac{6}{5}$，0＜α＜$\frac{3π}{4}$，求解α，利用二倍角公式化簡f（2α），可得f（2α）的值．

解答 解 （1）∵函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{7π}{4}$）+cos（x-$\frac{3π}{4}$），x∈R
化簡可得：f9x）=sin（2π-$\frac{π}{4}$+x）+cos（$-\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$+x），
=sin（x-$\frac{π}{4}$）+sin（x-$\frac{π}{4}$）
=2sin（x-$\frac{π}{4}$）
函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}$=2π，
∵sin（x-$\frac{π}{4}$）的最小值為-1，
∴f（x）的最小值為-2．
（2）由及（1）知f（x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$）
f（α）=$\frac{6}{5}$，
∴$sin（α-\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，
由$0＜α＜\frac{3π}{4}$，知$-\frac{π}{4}＜α-\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}$，
∴$cos（α-\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$
∴$f（2α）=2sin（2α-\frac{π}{4}）=2sin[2（α-\frac{π}{4}）+\frac{π}{4}]$=$\sqrt{2}[sin2（α-\frac{π}{4}）+cos2（α-\frac{π}{4}）]$=$\sqrt{2}[2sin（α-\frac{π}{4}）cos（α-\frac{π}{4}）+2{cos^2}（α-\frac{π}{4}）-1]$=$\sqrt{2}（2×\frac{3}{5}×\frac{4}{5}+2×\frac{16}{25}-1）=\frac{{31\sqrt{2}}}{25}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考察了二倍角公式的化簡和計(jì)算能力，屬于中檔題．