Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性（不證明）；
（3）若對于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，f（-1）=-f（1），據(jù)此可求得a，b；
（2）f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論；
（3）利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”，從而可轉(zhuǎn)化為具體不等式，然后分離參數(shù)k，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值即可；

解答： 解（1）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，b=1，
又f（-1）=-f（1），得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1，b=1符合題意．
（2）由（1）知f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
∵y=2^x遞增，
∴y=

2

2x+1

遞減，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
又f（x）為奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
∵f（x）為減函數(shù)，
∴t²-2t＞k-2t²，
即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

，
∴k＜-

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．