Question

已知△ABC為等腰三角形，PA⊥平面ABC，AB=AC=5，PA=BC=5

3

，求：
（1）點P到直線BC的距離；
（2）二面角B-PA-C的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取BC中點D，連結AD，PD，由等腰三角形性質得AD⊥BC，由勾股定理得AD=

5

2

，由三垂線定理，得PD⊥BC，由此利用勾股定理能求出P到直線BC的距離．
（2）由線面垂直得AB⊥PA，AC⊥PA，從而∠BAC是二面角B-PA-C的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角B-PA-C的大小．

解答： 解：（1）取BC中點D，連結AD，PD，
∵△ABC為等腰三角形，PA⊥平面ABC，AB=AC=5，PA=BC=5

3

，
∴AD⊥BC，且AD=

AB2-BD2

=

25- 75 4

=

5

2

，
由三垂線定理，得PD⊥BC，
∴線段PD長為P到直線BC的距離，
∴P到直線BC的距離PD=

PA2+AD2

=

75+ 25 4

=

5 13

2

．
（2）∵PA⊥平面ABC，∴AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC是二面角B-PA-C的平面角，
∵AB=AC=5，BC=5

3

，
∴cos∠BAC=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

25+25-75

2×5×5

=-

1

2

，
∴∠BAC=120°，
∴二面角B-PA-C的大小為120°．

點評：本題考查點到直線的距離的求法，考查二面角的大小的求法，涉及到勾股定理、三垂線定理、余弦定理的應用，要注意線面垂直的性質的合理運用，是中檔題．