Question

如圖，球心到截面的距離為半徑的一半，BC是截面圓的直徑，D是圓周上一點(diǎn)，CA是球O的直徑．
（1）求證：平面ABD⊥平面ADC；
（2）如果球半徑是

13

，D分

BC

為兩部分，且

BD

：

DC

=1：2，求AC與BD所成的角．

Answer 1

分析：（1）由已知中BC是截面圓的直徑，D是圓周上一點(diǎn)，CA是球O的直徑．由圓周角定理，可得CD⊥BD，CD⊥AD，由線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面ABD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面ABD⊥平面ADC；
（2）根據(jù)球半徑是

13

，D分

BC

為兩部分，且

BD

：

DC

=1：2，我們可以分別求出cos∠ACB，cos∠CBD，然后利用三余弦定理，即可得到答案．

解答：證明：（1）∵BC是截面圓的直徑，D是圓周上一點(diǎn)，CA是球O的直徑．
∴CD⊥BD，CD⊥AD，又由BD∩AD=D
∴CD⊥平面ABD，又由CD?平面ADC
∴平面ABD⊥平面ADC；
解：（2）∵球心到截面的距離為半徑的一半，球半徑AC=

13

，
則BC=

39

，∴cos∠ACB=

3

2

又∵D分

BC

為兩部分，且

BD

：

DC

=1：2，
∴cos∠CBD=

1

2

，
設(shè)AC與BD所成的角為θ，
由三余弦定理得：Cosθ=

3

4

則AC與BD所成的角為arccos

3

4

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，其中求平面的一條斜線與平面內(nèi)一條直線的夾角時(shí)所用的三余弦定理是解答本題的關(guān)鍵．