Question

把離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”，如圖的兩個(gè)相似橢圓，分別是同一個(gè)矩形的內(nèi)切橢圓和外接橢圓，且q（q＞1）是這兩個(gè)橢圓長軸的長的比值，那么q=________．

Answer 1

分析：設(shè)外橢圓的方程為+=1（m＞n＞0），內(nèi)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），利用e==結(jié)合合比定理即可求得q．
解答：設(shè)外橢圓的方程為+=1（m＞n＞0），c₁為其半焦距，
內(nèi)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），c₂，
∵兩橢圓的離心率相等，
∴e==，
∴=，
∴===，
∴==，①
依題意P（a，b）為外橢圓為+=1上的點(diǎn)，
∴+=1②
由①②得：2=1，
∴=，=2，
∴=．即q===．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，考查合分比定理，屬于難題．