設(shè)函數(shù)F(x )=x2+aln(x+1)

(I)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(II)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2且，求證: .

 

【答案】

（Ⅰ）； (II)見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，讓，在[1,+∞）上是恒成立的，求解可得a的取值范圍；(II)令，依題意方程在區(qū)間有兩個(gè)不等的實(shí)根，記，則有，得，然后找的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)單調(diào)性，可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）在區(qū)間上恒成立，

即區(qū)間上恒成立，        1分

.      3分

經(jīng)檢驗(yàn)，  當(dāng)時(shí)， ，時(shí)，，

所以滿足題意的a的取值范圍為.      4分

（Ⅱ）函數(shù)的定義域，，依題意方程在區(qū)間有兩個(gè)不等的實(shí)根，記，則有，得.       6分

法一：，，，

，令，    8分

，， ,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092123562524621676/SYS201309212358322538504016_DA.files/image026.png">，存在，使得，

-

0

+

，，，所以函數(shù)在為減函數(shù)，   10分

即        12分

法二:6分段后面還有如下證法，可以參照酌情給分.

【證法2】為方程的解，所以,

∵， ，，∴,

先證，即證（）,

在區(qū)間內(nèi)，，內(nèi)，所以為極小值，,

即，∴成立；       8分

再證，即證,

,

令，        10分

,

,

，，,

∴，在為增函數(shù)．

 

．

綜上可得成立．         12分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)；2、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調(diào)函數(shù)．現(xiàn)給出下列三個(gè)命題：
①函數(shù)f(x)=(
12
)x為R上的l高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是
②③
②③
（填序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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