如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓＋＝1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

(1) 若直線PA平分線段MN，求k的值；

(2) 當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(3) 對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB.

 


 (1) 解：由題設(shè)知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點(diǎn)．又直線PA過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝＝.

(2) 解：將直線PA的方程y＝2x代入橢圓方程＋＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0.因此，d＝

(3) 證明：設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)，設(shè)直線PA、PB、AB的斜率分別為k、k1、k2.因?yàn)镃在直線AB上，所以k2＝＝＝.從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·＋1＝＋1＝＝0.

因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.


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 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1) 若AB＝，求k的值；

(2) 求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

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已知拋物線y2＝2px(p≠0)及定點(diǎn)A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b2≠2pa，M是拋物線上的點(diǎn)．設(shè)直線AM、BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M1、M2，當(dāng)M變動(dòng)時(shí)，直線M1M2恒過一個(gè)定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為________．

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