Question

（理科）如圖（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一簡(jiǎn)單組合體ABCDEF如圖（2）示，已知M，N，P分別為AF，BD，EF的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面BCF；
（2）求證：AP⊥平面DAE；
（3）當(dāng)AD多長(zhǎng)時(shí)，平面CDEF與 平面ADE所成的銳二面角為60°？

Answer 1

分析：（1）連結(jié)AC，通過(guò)證明MN∥CF，利用直線與平面平行的判定定理證明MN∥平面BCF；
（2）通過(guò)證明AP⊥AD，AP⊥AE，利用直線與平面垂直的判定定理求證：AP⊥平面DAE；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DE交DE于G點(diǎn)，連結(jié)PG，則DE⊥PG，可得∠AGP為二面角A-DE-F的平面角，利用等面積，即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：連結(jié)AC，∵四邊形ABCD是矩形，N為BD中點(diǎn)，
∴N為AC中點(diǎn)，
在△ACF中，M為AF中點(diǎn)，故MN∥CF
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，∴MN∥平面BCF；
（2）證明：依題意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P為EF中點(diǎn)，∴FP=AB=2

2

結(jié)合AB∥EF，知四邊形ABFP是平行四邊形
∴AP∥BF，AP=BF=2，
而AE=2，PE=2

2

，∴AP²+AE²=PE²
∴∠EAP=90°，即AP⊥AE，
又AD∩AE=A，∴AP⊥平面ADE；
（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DE交DE于G點(diǎn)，連結(jié)PG，則DE⊥PG
∴∠AGP為二面角A-DE-F的平面角，
由∠AGP=60°，AP=BF=2得AG=

AP

tan60°

=

2 3

3

，
又AD•AE=AG•DE得2AD=

2 3

3

•

22+AD2

，
解得AD=

2

，即AD=

2

時(shí)，平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，考查面面角，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．