Question

已知函數(shù)f(x)=x-

a

x

（a＞0），有下列四個(gè)命題：
①f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②f（x）是奇函數(shù)；
③f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上單調(diào)遞增；
④方程|f（x）|=a總有四個(gè)不同的解，其中正確的是（　　）

• A、僅②④
• B、僅②③
• C、僅①②
• D、僅③④

Answer 1

分析：①當(dāng)a=x=1時(shí)f（x）=0，采用舉反例的方法得到答案是否正確；
②利用f（-x）+f（x）看是否為0即可判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)；
③求出f′（x）判斷其符號(hào)即可知道函數(shù)單調(diào)與否；
④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x-

a

x

=±a化簡(jiǎn)求出x即可判斷．

解答：解：①當(dāng)a=x=1時(shí)f（x）=0，所以f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞），錯(cuò)誤；
②f（-x）=-x+

a

x

，而f（x）=x-

a

x

，所以f（-x）+f（x）=-x+

a

x

+x-

a

x

=0得到函數(shù)為奇函數(shù)，正確；
③因?yàn)閒′（x）=1+

a

x2

，由a＞0得到f′（x）＞1＞0，所以函數(shù)單調(diào)遞增，正確；
④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x-

a

x

=±a，當(dāng)a=4時(shí)，方程有三個(gè)解，錯(cuò)誤．
故選B

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)用反例法說(shuō)明一個(gè)命題錯(cuò)誤的能力，判斷函數(shù)單調(diào)性及證明的能力，判斷函數(shù)奇偶性的能力，會(huì)判斷根的存在性及根的個(gè)數(shù)的能力．