Question

已知圓C經(jīng)過A（2，3），B（0，3）兩點(diǎn)，且與直線x+y-5=0相切，
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在直線x+y+1=0上任取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)|PQ|最小時(shí)，求切線PQ的斜率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（1，b），半徑為r，利用圓與直線x+y-5=0相切，建立方程，求出圓心與半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)|PQ|最小時(shí)，CP垂直于直線x+y+1=0，故可得直線CP的方程，與直線x+y+1=0，聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)，設(shè)出切線PQ的方程，利用圓心到直線的距離d=r，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（1，b），半徑為r，則
∵圓與直線x+y-5=0相切，
∴

|1+b-5|

2

=

1+(b-3)2

=r，
∴b=2，r=

2

，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-2）²=2；
（2）當(dāng)|PQ|最小時(shí)，CP垂直于直線x+y+1=0，故可得直線CP的方程為y-2=x-1，即x-y+1=0，
與直線x+y+1=0，聯(lián)立，可得P（-1，0），
設(shè)切線PQ的斜率為k，則切線PQ的方程為y=k（x+1），即kx-y-k=0，
∴圓心到直線的距離d=

|k-2-k|

1+k2

=

2

，
∴k=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定當(dāng)|PQ|最小時(shí)，CP垂直于直線x+y+1=0是關(guān)鍵．