【題目】如圖三棱柱中,側(cè)面
為菱形,
.
(1)證明: ;
(2)若,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)連接,交
于點(diǎn)
,連接
,可證
平面
,可得
,
,進(jìn)而可得
;(2)以
為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向?yàn)?/span>
軸正方向,
為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系,分別可得兩平面的法向量,可得所求余弦值.
試題解析:(1)連接,交
于點(diǎn)
,連接
,因?yàn)閭?cè)面
為菱形,所以
,且
為
及
的中點(diǎn),又
,所以
平面
.由于
平面
,故
,又
,故
.
(2)因?yàn)?/span>,且
為
的中點(diǎn),所以
.
又因?yàn)?/span>,所以
,故
,從而
兩兩相互垂直,
為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向?yàn)?/span>
軸正方向,
為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系
(圖略)
因?yàn)?/span>,所以
為等邊三角形,又
,則
,
.
,
,設(shè)
是平面
的法向量,則
,即
,設(shè)
是平面
的法向量,則
,同理可取
.
所以可取,
,
所以二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
在
處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(Ⅲ)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)
的圖象交于
,
兩點(diǎn),其中
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著《四元玉鑒》卷中“茭草形段”第一個(gè)問題“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.問底子(每層三角形邊茭草束數(shù),等價(jià)于層數(shù))幾何?”中探討了“垛枳術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上1束,下一層3束,再下一層6束,…,成三角錐的堆垛,故也稱三角垛,如圖,表示第二層開始的每層茭草束數(shù)),則本問題中三角垛底層茭草總束數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,
平面
是
的中點(diǎn),
是
上的點(diǎn)且
為
邊
上的高.
(1)證明: 平面
;
(2)若,求三棱錐
的體積;
(3)在線段上是否存在這樣一點(diǎn)
,使得
平面
?若存在,說出
點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線
與
軸交于橢圓
的右焦點(diǎn)
為
的左焦點(diǎn).橢圓的離心率為
,拋物線
與橢圓
交于
軸上方一點(diǎn)
,連接
并延長(zhǎng)其交
于點(diǎn)
,
為
上一動(dòng)點(diǎn),且在
之間移動(dòng).
(1)當(dāng)取最小值時(shí),求
和
的方程;
(2)若的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù),當(dāng)
面積取最大值時(shí),求面積最大值以及此時(shí)直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)(x﹣2,x﹣y)
(1)在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別記為x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;
(2)若利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)在[0,3]上先后取兩個(gè)數(shù)分別記為x,y,求P點(diǎn)在第一象限的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c
(1)若 ,求A的值;
(2)若 ,且△ABC的面積
,求sinC的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為
,離心率為
,設(shè)直線
的斜率是
,且
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)若直線在
軸上的截距是
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(Ⅲ)以為底作等腰三角形,頂點(diǎn)為
,求
的面積.
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