Question

（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)

（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；

（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

 

Answer 1

【答案】

（I）分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．

（II）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)極值．

若，，，也無(wú)極值．

的極值之和為

．

【解析】解：（Ⅰ），

依題意有，故．從而．

的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052400041753124303/SYS201205240005581093874285_DA.files/image016.png">，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；   當(dāng)時(shí)，．

從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．

（Ⅱ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052400041753124303/SYS201205240005581093874285_DA.files/image021.png">，．

方程的判別式．

（ⅰ）若，即，在的定義域內(nèi)，故的極值．

（ⅱ）若，則或．

若，，．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)極值．

若，，，也無(wú)極值．

（ⅲ）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，．

當(dāng)時(shí)，，從而有的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故無(wú)極值．

當(dāng)時(shí)，，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為．

的極值之和為

．