已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足sinA（
3
cosA+sinA）=
3
2
．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2
2
，求△ABC面積S△ABC最大值．
考點：正弦定理
專題：解三角形
分析：（Ⅰ）化簡整理原式，利用兩角和公式可求得sin（2A-
π
6
），進而求得A．
（Ⅱ）利用余弦定理公式求得bc的范圍，進而根據(jù)三角形面積公式求得其最大值．
解答： 解：（Ⅰ）∵sinA（
3
cosA+sinA）=
3
2
．
∴
3
sinAcosA+sin2A=
3
2
，
∴
3
2
sin2A-
1
2
cos2A=
3
2
，
∴sin（2A-
π
6
）=1，
∵0＜A＜π，-
π
6
＜2A-
π
6
＜
11π
6
，
∴2A-
π
6
=
π
2
，
∴A=
π
3
．
（Ⅱ）由余弦定理得a2=b2+c2-bc=8，
又b2+c2≥2bc，當且僅當b=c時取等號，
∴bc≤8，
∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤2
3
，
∴三角形ABC的面積的最大值為2
3
點評：本題主要考查了余弦定理的應用，三角形恒等變換的應用，三角形面積公式的應用．注重了對學生綜合知識的靈活運用的考查．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知變量x，y具有線性相關關系，測得（x，y）的一組數(shù)據(jù)如下：（0，1）、（1，2）、（2，4）、（3，5），其回歸方程為
y
=bx+0.9，則b的值等于（　�。�
A、1.3B、-1.3
C、1.4D、-1.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在區(qū)間[-
π
2
，0]內(nèi)單調(diào)遞減，則f（x）可以是（　�。�
A、sin（π-x）
B、cos（π+x）
C、sin（
π
2
-x）
D、cos（
π
2
+x）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為sn，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=
1
log2an
，Tn=bn+1+bn+2+…+b2n，是否存在最大的正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，有Tn＞
k
12
恒成立？
若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，且
cosA-3cosC
a-3c
+
cosB
b
=0
（Ⅰ）證明：c=3a；
（Ⅱ）若B為鈍角，且b=20，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，且b2＞a2+c2，
3
a=2bsinA．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=2
7
，△ABC的面積為2
3
，求a+c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從某校高三年級學生一次數(shù)學測試的400份試卷中隨機抽取若干份試卷作為樣本進行分析評估，抽取的試卷成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都都受到了不同程度的損壞，其可見部分如下，據(jù)此解答下列問題：
（Ⅰ）求抽取的成績在[80，90）的試卷份數(shù)及樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（Ⅱ）若樣本數(shù)據(jù)中得分在[80，90）的數(shù)學成績的平均分為85，估計該校高三年級學生此次數(shù)學測試的平均成績．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值．
（1）求a，b
（2）討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；
（3）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若（ax2+
1
x
）5的展開式中x4的系數(shù)為80，則實數(shù)a=
 
．

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