Question

（2011•邢臺(tái)一模）已知兩點(diǎn)M、N分別在直線y=mx與直線y=-mx（m＞1）上運(yùn)動(dòng)，且|MN|=2．動(dòng)點(diǎn)P滿足2

OP

=

OM

+

ON

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B．若對(duì)任意m＞1，都有∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由動(dòng)點(diǎn)P滿足2

OP

=

OM

+

ON

可知P為MN的中點(diǎn)，設(shè)出P點(diǎn)，M點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)，由P為MN的中點(diǎn)，M、N分別在直線y=mx與直線y=-mx（m＞1）上，且|MN|=2聯(lián)立列式可求曲線C的方程；
（Ⅱ）經(jīng)分析可知直線l的斜率存在，設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個(gè)交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的和與積，要使∠AOB為銳角，則

OA

•

OB

＞0，把坐標(biāo)代入后得到直線的斜率k與m的不等式，由m的范圍可以確定出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵2

OP

=

OM

+

ON

，∴P為MN的中點(diǎn)．
設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x1+x2=2x mx1-mx2=2y (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=22

，∴

x2

1 m2

+

y2

m2

=1(m＞1)；
（Ⅱ）曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∵m＞1，故點(diǎn)（0，1）在橢圓內(nèi)，
∴直線l與曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
顯然直線l的斜率不存在時(shí)不合題意，可設(shè)直線方程為y=kx+1．
由

y=kx+1 m2x2+ y2 m2 =1

，得（m⁴+k²）x²+2kx+1-m²=0．
∴x1+x2=-

2k

m4+k2

，x1x2=

1-m2

m4+k2

．
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=

k2(1-m2)

m4+k2

+

-2k2

m4+k2

+1．
要使∠AOB為銳角，則

OA

•

OB

＞0．
∴x1x2+y1y2=

m4-(k2+1)m2+1

m4+k2

＞0．
m⁴-（k²+1）m²+1＞0．
得出m2+

1

m2

＞k2+1，若對(duì)任意m＞1恒成立，只需-1≤k≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是難題．