Question

【題目】已知數(shù)列中，，，，且對時，有．

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列滿足，，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知等式表示出和，整理可知，從而可證得數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得；利用配湊的方式可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，整理可得；（Ⅱ）將代入，整理可得：，利用累乘的方式可求得，進(jìn)而可得；采用分組求和的方式，分別對用錯位相減的方法求和，對采用裂項(xiàng)相消的方法求和，分別求和后加和即可得到結(jié)果.

（Ⅰ）由題意知：

又

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

，即

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，即：

則：，，……，

左右兩側(cè)分別相乘可得：

令

則

則