Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（I）若對(duì)?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（II）證明：對(duì)?x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)f(x1)＞

x2

ex2

-

2

e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2f（x）≥g（x），得2xlnx≥-x²+ax-3，由于x＞0，則a≤

x2+3+2xlnx

x

，設(shè)h(x)=

x2+3+2xlnx

x

，由h′(x)=

x2+2x-3

x2

，能求出a的取值范圍．
（II） 設(shè)φ（x）=

x

ex

-

2

e

，由已知f(x1)≥

x2

ex2

-

2

e

，等價(jià)于f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，由f′（x）=lnx+1=0時(shí)，x=

1

e

，知f（x）的最小值為f（

1

e

）=-

1

e

．由此能夠證明對(duì)?x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)f(x1)＞

x2

ex2

-

2

e

．

解答：（Ⅰ）解：由2f（x）≥g（x），
得2xlnx≥-x²+ax-3，
由于x＞0，
則a≤

x2+3+2xlnx

x

，
設(shè)h(x)=

x2+3+2xlnx

x

，
h′(x)=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
因而h（1）最小為4，那么a≤4．
（II） 證明：設(shè)φ（x）=

x

ex

-

2

e

，由已知f(x1)≥

x2

ex2

-

2

e

，
等價(jià)于f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，
由f′（x）=lnx+1=0時(shí)，x=

1

e

，
知f（x）的最小值為f（

1

e

）=-

1

e

．
∅′（x）=

ex-xex

e2x

 =0時(shí)，x=1，∅（x）的最大值為∅（1）=-

1

e

．
因而xlnx＞

x

ex

-

2

e

，從而對(duì)?x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)，
f(x1)≥

x2

ex2

-

2

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．