Question

6．給出下列命題：
（1）函數(shù)$f（x）=\root{3}{{{x^4}-{x^3}}}$和$g（x）=x•\root{3}{x-1}$是同一個(gè)函數(shù)；
（2）若函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-4x+3）$，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，+∞）；
（3）對于函數(shù)f（x），x∈R，“y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對稱”“是y=f（x）是奇函數(shù)”的必要不充分條件；
（4）已知函數(shù)f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定義函數(shù)$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}}\right.$，則函數(shù)F（x）是偶函數(shù)且當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=F（x）-2有四個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)有（　　）個(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分析兩個(gè)函數(shù)的定義域和解析式，可判斷（1）；求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可判斷（2）；根據(jù)充要條件的定義，可判斷（3）；分析函數(shù)F（x）的奇偶性，并判斷當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=F（x）-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷（4）

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\root{3}{{{x^4}-{x^3}}}$和$g（x）=x•\root{3}{x-1}$定義域相同，解析式可化為一致，故是同一個(gè)函數(shù)，故正確；
（2）若函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-4x+3）$，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（3，+∞），故錯(cuò)誤；
（3）“y=f（x）是奇函數(shù)”時(shí)，“y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對稱”，
“y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對稱”時(shí)，“y=f（x）是奇函數(shù)”不一定成立，
故“y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y=f（x）是奇函數(shù)”的必要不充分條件，故正確；
（4）已知函數(shù)f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定義函數(shù)$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}}\right.$，
x＞0時(shí)，-x＜0，F(xiàn)（-x）=f（x）=F（x）；x＜0時(shí)，-x＞0，F(xiàn)（-x）=f（-x）=F（x），
故函數(shù)F（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，|log₂x|=$\frac{1}{a}$，即log₂x=$\frac{1}{a}$或log₂x=-$\frac{1}{a}$各有一個(gè)正根，即F（x）-2=0有兩個(gè)正根，
由函數(shù)F（x）是偶函數(shù)，可得F（x）-2=0也有兩個(gè)負(fù)根，
故方程F（x）-2=0有四個(gè)根，即函數(shù)y=F（x）-2有四個(gè)零點(diǎn)，故正確；
故正確的命題有3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了同一函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性，充要條件，函數(shù)的零點(diǎn)等知識點(diǎn)，難度中檔．