Question

下列命題成立的是

①③④

． （寫出所有正確命題的序號）．
①a，bc∈R，a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
②當x＞0時，函數(shù)f(x)=

1

x2

+2x≥2

1 x2 •2x

=2

2 x

，∴當且僅當x²=2x即x=2時f（x）取最小值；
③當x＞1時，

x2-x+4

x-1

≥5；
④當x＞0時，x+

1

x

+

1

x+ 1 x

的最小值為

5

2

．

Answer 1

分析：①由（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，展開得即可判斷出；
②當x＞0時，變形利用均值不等式可得f(x)=

1

x2

+2x=

1

x2

+x+x≥3

3	1 x2 •x•x

，即可判斷出；
③當x＞1時，變形利用基本不等式可得

x2-x+4

x-1

=x+

4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1，即可判斷出；
④當x＞0時，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當且僅當x=1時取等號，令x+

1

x

=t≥2，x+

1

x

+

1

x+ 1 x

=t+

1

t

，令f（t）=t+

1

t

，（t≥2）．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（t）在[2，+∞）上單調(diào)性即可．

解答：解：①由（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，展開得a²+b²+c²≥ab+bc+ac，故正確；
②當x＞0時，f(x)=

1

x2

+2x=

1

x2

+x+x≥3

3	1 x2 •x•x

=3，當且僅當x=1時取等號，∴f（x）最小值為3，故不正確；
③當x＞1時，

x2-x+4

x-1

=x+

4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1=5，當且僅當x=3時取等號，∴最小值為5，正確；
④當x＞0時，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當且僅當x=1時取等號，令x+

1

x

=t≥2，x+

1

x

+

1

x+ 1 x

=t+

1

t

，
令f（t）=t+

1

t

，（t≥2）．則f′（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，∴函數(shù)f（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（t）≥f（2）=

5

2

．
故x+

1

x

+

1

x+ 1 x

的最小值為

5

2

，因此正確．
綜上可知：只有①③④正確．
故答案為①③④．

點評：本題綜合考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、換元法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．