Question

若x、y、z均為正實(shí)數(shù)，則

xy+yz

x2+y2+z2

的最大值為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  2

• C、2

  2

• D、2

  3

Answer 1

分析：法1、根據(jù)題意，設(shè)出函數(shù)的最大值，列出不等式恒成立；將不等式變形，經(jīng)過(guò)配方，要是不等式恒成立，需要 (1-

1

2

a2) ≥0，求出a的范圍，其倒數(shù)為最大值的范圍．
法2、利用基本不等式對(duì)

xy+yz

x2+y2+z2

進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意對(duì)原式進(jìn)行配湊為

2y (x+z)

2 (x2+y2+z2)

．

解答：解：法1、設(shè)

xy+yz

x2+y2+z2

≤

1

a

恒成立，此不等式可化為
x²+y²+z²-axy-ayz≥0
即 (x-

ay

2

)2+(z-

a

2

y)2+(1-

1

2

a2)y2≥0恒成立
由于 (x-

ay

2

)2+(z-

a

2

y)2≥ 0，
故 (1-

1

2

a2)y2≥0
于是有

1

a

≤

2

2

故

xy+yz

x2+y2+z2

≤

2

2

恒成立．
法2、

xy+yz

x2+y2+z2

=

2 y(x+z)

2 (x2+y2+z2)

≤

2y2(x+z)2

2 (x2+y2+z2)

=

2y2(x2+2xz+z2)

2 2 (x2+y2+z2)

≤

2(y2+x2+z2)

2 2 (x2+y2+z2)

=

2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=z=

2

2

y，等號(hào)成立，
∴

xy+yz

x2+y2+z2

的最大值為

2

2

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查將函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、同時(shí)考查對(duì)二次函數(shù)配方的處理方法以及運(yùn)算能力．屬難題