Question

已知三棱錐S-ABC的三視圖如圖所示，在原三棱錐中給出下列命題：
①BC⊥平面SAC；
②平面SBC⊥平面SAB；
③平面SBC⊥平面SAC；
④三棱錐S-ABC的體積為

1

2

．
其中所有正確命題的個數為（　�。�

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，①由線面垂直的判定定理即可推出BC⊥平面SAC；
②顯然錯誤；
③由①及面面垂直的判定定理可推出平面SBC⊥平面SAC；
④由三棱錐的體積公式，代入數據即可得到三棱錐S-ABC的體積．

解答：解：由幾何體的三視圖可知，在三棱錐S-ABC中，SA⊥面ABC，AC⊥BC，且SA=1，AB=3，C到AB的距離為1，如下圖示

①∵SA⊥面ABC，BC?面ABC，∴SA⊥BC
又∵BC⊥AC，SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC；
②顯然錯誤；
③由①可知BC⊥平面SAC，BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAC；
④由題意知，三棱錐S-ABC的體積為V=

1

3

×SA×S△ABC=

1

3

×1×

1

2

×3×1=

1

2

．
故答案為 B．

點評：本題考查棱錐的結構特征，考查學生發(fā)現問題解決問題的能力，射影定理的應用等，是中檔題．