Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中a1=

1

2

，函數(shù)f(x)=

2x

1+x

．
（Ⅰ）若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N^*），試求出a₂，a₃，a₄．由此歸納出通項(xiàng)a_n，并證明；
（Ⅱ）若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足bn=

an

2n+1

，其和為T_n，求證：Tn≤

1

2

-

1

1+2n

．

Answer 1

分析：（I）由遞推公式，求出前四項(xiàng)，從而由歸納推理，猜想通項(xiàng)公式，再將遞推式變形、證明；
（Ⅱ）由不等關(guān)系a_n+1≤f（a_n）和（I）的思路啟發(fā)，探求a_n的最值，從而過渡得到b_n范圍，再用求和公式證明不等式．

解答：解：（Ⅰ）a2=

2a1

1+a1

=

2× 1 2

1+ 1 2

=

2

3

，a3=

4

5

，a4=

8

9

，
歸納出an=

2n-1

2n-1+1

．…（2分）
證明：∵an+1=

2an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

，
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
∴{

1

an

-1}是以

1

a1

-1為首項(xiàng)，

1

2

為公比等比數(shù)列
.

1

an

-1=(

1

1 2

-1)•(

1

2

)n-1，
∴an=

2n-1

2n-1+1

，故通項(xiàng)a_n是正確的．…（6分）
（Ⅱ）由an+1≤

2an

1+an

得

1

an+1

-1≥

1

2

(

1

an

-1)，
∴

1 an+1 -1

1 an -1

≥

1

2

，
故

1 a2 -1

1 a1 -1

≥

1

2

，

1 a3 -1

1 a2 -1

≥

1

2

，…，

1 an -1

1 an-1 -1

≥

1

2

，
累乘得

1 an -1

1 a1 -1

≥(

1

2

)n-1，
∴

1

an

-1≥(

1

2

)n-1，
即an≤

1

( 1 2 )n-1+1

，故an≤

2n-1

2n-1+1

．…（10分）

∵bn= an 2n+1 ≤ 2n-1 (2n+1)(2n-1+1) = 1 2n-1+1 - 1 2n+1 ， ∴Tn≤ 1 20+1 - 1 21+1 + 1 21+1 - 1 22+1 +…+ 1 2n-1+1 - 1 2n+1 = 1 2 - 1 2n+1 ，

故Tn≤

1

2

-

1

2n+1．

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查以函數(shù)作載體考查數(shù)列的綜合交匯，也考查了推理與證明．?dāng)?shù)列綜合題常作壓軸題，根據(jù)遞推關(guān)系推性質(zhì)、求和及證不等式等，根據(jù)前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng)公式，是打開“思路閘門”的好方法，切記合理證明；在非等差、等比的數(shù)列中，常通過變形構(gòu)造出新的等差、等比數(shù)列求解，此時(shí)注意新數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)及公差（比）；數(shù)列前項(xiàng)和與不等式的融合，常根據(jù)求和公式得到具體表達(dá)式，再適當(dāng)放縮即可，有時(shí)需要對(duì)源頭--通項(xiàng)進(jìn)行放縮，以便求和及證明．