Question

14．已知集合A={a|一次函數(shù)y=（4a-1）x+b在R上是增函數(shù)}，集合B=$\left.{\left\{{a|log_a^{\;}\frac{3}{4}＜1}\right.}\right\}$．
（1）求集合A，B；
（2）設集合$C=（0，\frac{3}{4}）$，求函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$在A∩C上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)的性質求出集合A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質求出集合B即可；（2）求出A∩B，結合f（x）的單調性求出f（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵集合A={a|一次函數(shù)y=（4a-1）x+b在R上是增函數(shù)}，
∴4a-1＞0，解得：a＞$\frac{1}{4}$，
故$A=（\frac{1}{4}，+∞）$…（1分），
由$log_a^{\;}\frac{3}{4}＜1$得：
當0＜a＜1時，log_a$\frac{3}{4}$＜1=log_aa，解得：0＜a＜$\frac{3}{4}$，
當a＞1時，log_a$\frac{3}{4}$＜1=log_aa，解得：a＞$\frac{3}{4}$，而a＞1，故a＞1，
∴$B=（0，\frac{3}{4}）∪（1，+∞）$…（6分）
（2）$A∩C=（\frac{1}{4}，\frac{3}{4}）$…（7分）
∵函數(shù)y=x在（0，+∞）是增函數(shù)，
$y=\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴$f（x）=x-\frac{1}{x}$在（0，+∞）是增函數(shù)                        …（9分）
所以當$x∈（\frac{1}{4}，\frac{3}{4}）$時…（12分）
有$-\frac{15}{4}=f（\frac{1}{4}）＜f（x）＜f（\frac{3}{4}）=-\frac{7}{12}$…（11分）
即函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}$的值域是$（-\frac{15}{4}，-\frac{7}{12}）$…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查對數(shù)函數(shù)的性質以及集合的運算，是一道中檔題．