已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)當(dāng)a=-
1
4
時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)≤x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)利用ln(x+1)≤x,求證:ln{(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]}<1
(其中n∈N*,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
分析:(1)把a(bǔ)=-
1
4
代入函數(shù)f(x),再對其進(jìn)行求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立,只要求出ax2+ln(x+1)-x的最小值即可,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其最值問題;
(3)利用不等式ln(x+1)≤x對所要證明的不等式進(jìn)行放縮,然后利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和,從而進(jìn)行證明;
解答:解:(1)當(dāng)a=-
1
4
時(shí),f(x)=-
1
4
x2+ln(x+1)(x>-1),
f′(x)=-
1
2
x+
1
x+1
=-
(x+2)(x-1)
2(x+1)
(x>-1),
由f'(x)>0,解得-1<x<1,由f'(x)<0,解得x>1.
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立,
設(shè)g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x≥0),
只需g(x)max≤0即可.
g′(x)=2ax+
1
x+1
-1=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
,
(ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=
-x
x+1
,當(dāng)x>0時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
故g(x)≤g(0)=0成立.
(ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),令g′(x)=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
=0,因x∈[0,+∞),所以x=
1
2a
-1,
①若
1
2a
-1<0,即a>
1
2
時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上,g'(x)>0,
則函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)在[0,+∞)上無最大值(或:當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞),此時(shí)不滿足條件;
②若
1
2a
-1≥0,即0<a≤
1
2
時(shí),函數(shù)g(x)在(0,
1
2a
-1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(
1
2a
-1,+∞)上單調(diào)遞增,
同樣g(x)在[0,+∞)上無最大值,不滿足條件.
(ⅲ)當(dāng)a<0時(shí),g′(x)=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
,
∵x∈[0,+∞),∴2ax+(2a-1)<0,
∴g'(x)<0,故函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
故g(x)≤g(0)=0成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0].
(3)因?yàn)閘n(x+1)≤x,且
2n
(2n-1+1)(2n+1)
=2(
1
2n-1+1
-
1
2n+1
),
所以ln{(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]}
=ln(1+
2
2×3
)+ln(1+
4
3×5
)+ln(1+
8
5×9
)+…+ln[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]<
2
2×3
+
4
3×5
+
8
5×9
+…+
2n
(2n-1+1)(2n+1)

=2[(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
9
)+…+(
1
2n-1+1
-
1
2n+1
)]
=2[(
1
2
-
1
2n+1
)]<1,
ln{(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]}<1
點(diǎn)評:此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問題,解題過程中多次用到了轉(zhuǎn)化的思想,第二題是函數(shù)的恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決,第三問不等式的證明要借助所給不等式,利用它進(jìn)行放縮證明,本題難度比較大,是一道綜合題;
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
)>3

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