Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為

2

2

．設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為

2

2

，求出c，a，可得b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（m，0）（-

2

≤m≤

2

），則直線l的方程為y=x-m，代入橢圓方程，表示出|PA|²+|PB|²，利用韋達(dá)定理代入，即可求|PA|²+|PB|²的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為

2

2

，
∴c=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，
∴b=

a2-c2

=1-----------------（3分）
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．-----------------（4分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（m，0）（-

2

≤m≤

2

），則直線l的方程為y=x-m，-----------------（2分）
代入橢圓方程，消去y，得3x²-4mx+2m²-2=0-----------------（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

，----------------（6分）
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²=2[（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2m（x₁+x₂）+2m²]
=2[（

4m

3

）²-

2(2m2-2)

3

-2m×

4m

3

+2m²]=-

4

9

m²+

8

3

-----------------（8分）
∵-

2

≤m≤

2

，即0≤m²≤2 
∴當(dāng)m=0時(shí)，（|PA|²+|PB|²）_max=

8

3

，|PA|²+|PB|²的最大值為

8

3

．---------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．