Question

13．如圖，這是一個(gè)半圓柱與多面體ABB₁A₁C構(gòu)成的幾何體，平面ABC與半圓柱的下底面共面，且AC⊥BC，P為$\widehat{{A}_{1}{B}_{1}}$上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明：PA₁⊥平面PBB₁；
（2）設(shè)半圓柱和多面體ABB₁A₁C的體積分別為V₁，V₂，且AC=BC，求V₁：V₂．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）利用體積公式，求出半圓柱和多面體ABB₁A₁C的體積，即可求V₁：V₂．

解答 （1）證明：在半圓柱中，BB₁⊥平面PA₁B₁，所以BB₁⊥PA₁．
因?yàn)锳₁B₁是底面圓的直徑，所以PA₁⊥PB₁，因?yàn)镻B₁∩BB₁=B₁，PB₁?平面PBB₁，
BB₁?平面PBB₁，所以PA₁⊥平面PBB₁．（6分）
（2）解：因?yàn)锳C⊥BC，AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且AB²=BC²+AC²=2AC²．
所以半圓柱的體積V₁=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$AB）²π•AA₁=$\frac{π}{4}$AC²•AA₁．
多面體ABB₁A₁C是以矩形ABB₁A₁為底面，以C為頂點(diǎn)的四棱錐，其高為點(diǎn)C到底面ABB₁A₁的距離，設(shè)這個(gè)高為h，在Rt△ABC中，AB•h=AC•BC，所以h=$\frac{AC•BC}{AB}$，
所以V₂=$\frac{1}{3}$•AA₁•AB•$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$•AA₁•AC•BC=$\frac{1}{3}$AA₁•AC²．
所以$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{3π}{4}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．