Question

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(

2

，

2

2

)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）記g（x）=f（x）+x，判斷g（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明之．

Answer 1

（1）由題意令y=f（x）=x^a，由于圖象過點（

2

，

2

2

），
得

2

2

=

2

^a，a=-1
∴y=f（x）=x^-1
（2）g（x）=f（x）+x=x+

1

x

函數(shù)g(x)=x+

1

x

在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有 g(x1)-g(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
所以，函數(shù)g(x)=x+

1

x

在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．