Question

已知直線l：x+y-2=0，一束光線從點(diǎn)P（0，1+

3

）以120°的傾斜角射到直線l上反射．
（1）求反射光線所在直線m的方程；
（2）若M是圓C：（x-1）²+（y+1）²=1上一點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線m的距離的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出入射點(diǎn)、P關(guān)于l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式，可得反射光線所在直線m的方程；
（2）求出圓心到直線的距離，則點(diǎn)M到直線m的距離的最大值為d+r，最小值d-r．

解答： 解：（1）設(shè)入射光線所在直線l₁，斜率為k₁，則k₁=tan120°=-

3

，
l₁：y-（1+

3

）=-

3

x，
與x+y-2=0聯(lián)立，入射點(diǎn)A （1，1），
設(shè)P′（m，n）為P關(guān)于l的對稱點(diǎn)，
則

1+ 3 -n 0-m •(-1)=-1 m 2 + n+1+ 3 2 -2=0

，
解得m=1-

3

，n=2，即P’（1-

3

，2），
∴反射光線所在直線AP′：

y-1

2-1

=

x-1

1- 3 -1

，即 x+

3

y-1-

3

=0．
（2）圓C：（x-1）²+（y+1）²=1，可得圓心為（1，-1），半徑r=1，
∵圓心到直線的距離d=

|1+ 3 •(-1)-1- 3 |

2

=

3

，
∴點(diǎn)M到直線m的距離的最大值為：d+r=

3

+1，最小值：d-r=

3

-1．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的對稱問題，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．