Question

9．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=x+$\sqrt{1-2x}$
（2）y=$\sqrt{{x}^{2}-2x-3}$
（3）y=$\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}$．

Answer 1

分析 （1）可換元，令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，解出x帶入原函數(shù)便可得到關于t的二次函數(shù)，配方求該二次函數(shù)的值域即可；
（2）配方得到x²-2x-3=（x-1）²-4，從而可以得出x²-2x-3≥0，從而可得出$\sqrt{{x}^{2}-2x-3}$的范圍，即得出原函數(shù)的值域；
（3）配方得到x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，從而可以得出$\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}$的取值范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，則x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t$=$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$；
∵t≥0；
∴y≤1；
∴原函數(shù)的值域為：（-∞，1]；
（2）x²-2x-3=（x-1）²-4；
∴x²-2x-3≥0；
∴y≥0；
∴該函數(shù)的值域為：[0，+∞）；
（3）x²+2x+3=（x+1）²+2≥2；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}≤\frac{1}{2}$；
即0$＜y≤\frac{1}{2}$；
∴該函數(shù)的值域為$（0，\frac{1}{2}]$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，換元法將函數(shù)中的根號去掉，配方求二次函數(shù)值域的方法，根據(jù)不等式的性質求函數(shù)的值域，要熟悉二次函數(shù)圖象．