Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列中，,, 為該數(shù)列的前項(xiàng)和，且.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式對一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

 (1) ；

(2).當(dāng)時(shí)，，即，所以．而是正整數(shù)，所以取。

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)的，得到前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的的關(guān)系，然后整體化簡求解得到其通項(xiàng)公式的求解。

（2）不等式對一切正整數(shù)都成立，可以從特殊值入手，求解參數(shù)a的范圍，然后分析得到結(jié)論。

解：(1) 

     ………1分

     又             ………3分

構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列。

                               ………6分

(2).當(dāng)時(shí)，，即，      

所以．                                     ………7分

而是正整數(shù)，所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．

（1）當(dāng)時(shí)，已證；                      ………8分

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．   ………9分

則當(dāng)時(shí)，

有

 ………11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082413553674996015/SYS201208241356039054147758_DA.files/image026.png">

即>        所以．

所以當(dāng)時(shí)不等式也成立．          

 由（1）（2）知，對一切正整數(shù)，都有，………13分

所以的最大值等于25．          ………14分