Question

已知函數(shù)f（x）=log2

x+2a+1

x-3a+1

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，試討論它的奇偶性和單調(diào)性；
（3）在（2）的條件下，記f^-1（x）為f（x）的反函數(shù)，若關(guān)于x的方程f^-1（x）=5k•2^x-5k有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的定義域，即真數(shù)大于零，解含參數(shù)的不等式；
（2）利用定義域關(guān)于原點對稱，求出a的值；然后再看f（x）與 f（-x）的關(guān)系，確定函數(shù)的奇偶性；
（3）求出函數(shù)的反函數(shù)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．

解答：解：（1）

x+2a+1

x-3a+1

＞0，
所以當(dāng)a＞0時，定義域為（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
當(dāng)a＜0時，定義域為（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
當(dāng)a=0時，定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）（4分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，
當(dāng)且僅當(dāng)-2a-1=-（3a-1）?a=2，
此時，f(x)=log2

x+5

x-5

．（6分）
對于定義域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）內(nèi)任意x，-x∈D，
f(-x)=lg

-x+5

-x-5

=lg

x-5

x+5

=-lg

x+5

x-5

=-f(x)，所以f（x）為奇函數(shù)；（8分）
當(dāng)x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
由于f（x）為奇函數(shù)，所以在（-∞，-5）內(nèi)單調(diào)遞減；（10分）
（3）f-1(x)=

5(2x+1)

2x-1

，x≠0  （12分）
方程f^-1（x）=5k?2^x-5k即

2x+1

2x-1

=k(2x-1)，令2^x=t，則t＞0且t≠1，得k=

t+1

(t-1)2

，
又

t+1

(t-1)2

∈(0，+∞)，所以當(dāng)k＞0，f^-1（x）=5k?2^x-5k解．（14分）

點評：考查了分類討論的思想方法，換元的思想方法；函數(shù)奇偶性的判定；特別注意換元后，新變量的取值范圍，屬難題．