Question

已知橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，過右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為-1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓W的方程．
（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線l與W相交于A，B兩點(diǎn)，記△AOB面積的最大值為S_k，證明：S₁=S₂．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式即可得出；
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，其中k=1或2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到弦長|AB|，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)到直線l的距離，利用三角形的面積計(jì)算公式和基本不等式即可得出．

解答： （Ⅰ）解：由題意得橢圓W的半焦距c=1，右焦點(diǎn)F（1，0），上頂點(diǎn)M（0，b），
∴直線MF的斜率為kMF=

b-0

0-1

=-1，
解得 b=1，
由 a²=b²+c²，得a²=2，
∴橢圓W的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，其中k=1或2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由方程組

y=kx+m x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴△=16k²-8m²+8＞0，（*）
由韋達(dá)定理，得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．
∴|AB|=

1+k2

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-2 1+2k2

=

1+k2

1+2k2

8(2k2-m2+1)

．
∵原點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|•d=

2

1+2k2

m2(2k2-m2+1)

≤

2

1+2k2

×

m2+2k2-m2+1

2

=

2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=2k²-m²+1，即2m²=2k²+1時(shí)取等號(hào)．
與k的取值無關(guān)系，因此S₁=S₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式和基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．