Question

一走廊拐角下的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B、C兩點(diǎn)，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m．
（1）若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P．設(shè)∠CMN=θ（rad），試用θ表示木棒MN和長度f（θ）．
（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）如圖，設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點(diǎn)作CD垂線，垂足為點(diǎn)T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點(diǎn)作TQ的垂線，垂足為W．在Rt△NWS中用NW和∠SNW表示出NS，在Rt△QPS中用PQ和∠PQS表示出QS，然后分別看S在線段TG上和在線段GT的延長線上分別表示出TS=QT-QS，然后在Rt△STM中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表達(dá)式和f（θ）的表達(dá)式．
（2）設(shè)出sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ可用t表示出，然后可得f（θ）關(guān)于t的表達(dá)式，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)t的范圍判斷出導(dǎo)函數(shù)小于0推斷出函數(shù)為減函數(shù)．進(jìn)而根據(jù)t的范圍求得函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）如圖，設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點(diǎn)作CD垂線，垂足為點(diǎn)T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點(diǎn)作TQ的垂線，垂足為W．
在Rt△NWS中，因?yàn)镹W=2，∠SNW=θ，
所以NS=

2

cosθ

．
因?yàn)镸N與圓弧FG切于點(diǎn)P，所以PQ⊥MN，
在Rt△QPS，因?yàn)镻Q=1，∠PQS=θ，
所以QS=

1

cosθ

，QT-QS=2-

1

cosθ

，
①若M在線段TD上，即S在線段TG上，則TS=QT-QS，
在Rt△STM中，MS=

TS

sinθ

=

QT-QS

sinθ

，
因此MN=NS+MS=NS+

QT-QS

sinθ

．
②若M在線段CT上，即若S在線段GT的延長線上，則TS=QS-QT，
在Rt△STM中，MS=

TS

sinθ

=

QS-QT

sinθ

，
因此MN=NS-MS=NS-

QS-QT

sinθ

=NS+

QT-QS

sinθ

．
f（θ）=MN=NS+

QT-QS

sinθ

=

2

cosθ

+(

2

sinθ

-

1

sinθcosθ

)=

2(sinθ+cosθ)-1

sinθcosθ

 (0＜θ＜

π

2

)．
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t (1＜t≤

2

)，則sinθcosθ=

t2-1

2

，
因此f(θ)=g(t)=

4t-2

t2-1

．因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">g′(t)=-

4(t2-t+1)

(t2-1)2

，又1＜t≤

2

，所以g′（t）＜0恒成立，
因此函數(shù)g(t)=

4t-2

t2-1

在t∈(1，

2

]是減函數(shù)，所以g(t)min=g(

2

)=4

2

-2，
即MNmin=4

2

-2．
答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為4

2

-2．

點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，基本的運(yùn)算能力．