Question

已知函數(shù)為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）求證：對(duì)于任意的成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f^′（x），由題意可知：當(dāng)x≥1時(shí)，f^′（x）≥0恒成立，解出a的取值范圍即可．
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)及利用（1）需要對(duì)a進(jìn)行分類討論即可．
（3）利用（1）的結(jié)論，只要令a=1，即可．
解答：解：（1）∵函數(shù)為大于零的常數(shù)，
∴=．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f^′（x）≥0恒成立，即（a＞0），x∈[1，+∞）恒成立?，（a＞0）x∈[1，+∞）?（a＞0）．
解得a≥1．即為所求的取值范圍．
（2）（i）由（1）可知：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且f（1）=0．
（ii）當(dāng)0＜a≤時(shí)，，∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f^′（x）≤0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且f（2）=ln2-．
（iii）當(dāng)時(shí)，．
令f^′（x）=0，則．
當(dāng)時(shí)，f^′（x）＜0；當(dāng)時(shí)，f^′（x）＞0．
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，因?yàn)樵趨^(qū)間[1，2]內(nèi)只有一個(gè)極小值，所以也即最小值，∴最小值為=．
（3）由（1）可知：令a=1，則函數(shù)f（x）=lnx在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
再令，，而，f（1）=0，
∴．
∴l(xiāng)nn=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[lnn-ln（n-1）]＞…，
即lnn＞…．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及證明不等式，充分理解導(dǎo)數(shù)的意義及掌握恰當(dāng)分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．