Question

如圖，△BCD中，AB=BC=1，∠ACB=120°，O為△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=

6

2

．
（I）求證：BO∥平面PAC；
（II）若點(diǎn)M為PC上，且PC⊥平面AMB，求二面角A-BM-O的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,向量方法證明線、面的位置關(guān)系定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OC，交AB于點(diǎn)D，先證明△OAC≌△OBC，可得平行四邊形ACBO為菱形，故OB與AC平行且相等，再由線面平行的判定定理可得BO∥平面PAC．
（II）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)平面的法向量

n

和

m

的坐標(biāo)，利用兩個(gè)向量的夾角公式求出cos＜

n

，

m

＞，從而求出sin＜

n

，

m

＞的值，即得所求

解答： （1）證明：連接OC，交AB于點(diǎn)D，O為△ABC的外心，AB=BC=1，OA=OB，OC=0C，故△OAC≌△OBC，∴∠ACO=∠BCO=

1

2

∠ACB=60°．
故△OAC和△OBC 都是等邊三角形，故平行四邊形ACBO為菱形，故OB與AC平行且相等．
再由AC?平面PAC，OB不在平面PAC內(nèi)，可得BO∥平面PAC．
（II）∵PC⊥平面AMB，∴PC⊥DM，直角三角形POC中，PO=

6

2

，OC=1，∴PC=

10

2

．
由△POC∽△CMD，D為OC中點(diǎn)可得，CM=

10

10

，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則得O（0，-

1

2

，0），A（

3

2

，0，0），B（-

3

2

，0，0），M（0，

3

10

，

6

10

）．
∴

AB

=（-

3

，0，0），

AM

=（-

3

2

，

3

10

，

6

10

），

OB

=（-

3

2

，

1

2

，0），

OM

=（0，

4

5

，

6

10

）．
設(shè)平面MAB的法向量為

n

=（x，y，z），由

AB • n  =0 AM • n =0

 解得

n

=（0，1，-

6

2

）．
設(shè)平面OMB的法向量為

m

=（x′，y′，z′），由

OB • m =0 OM • m =0

 解得

m

=（1，

3

，-4

2

）．
故cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

5 3

5 2 • 30

=

30

6

，故sin＜

n

，

m

＞=

6

6

，故二面角A-BM-O的正弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，用向量的方法求二面角的大小，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．