Question

3．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過圓心O的割線，PA=10，PB=5，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別交于點(diǎn)D和E，則AD•AE=90．

Answer 1

分析 先由∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進(jìn)而求出$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$，再由切割線定理得到PA²=PB•PC；結(jié)合前面求出的結(jié)論以及勾股定理求出AC=6$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{5}$，再結(jié)合條件得到△ACE∽△ADB，進(jìn)而求出結(jié)果．

解答 解：∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$．
∵PA為⊙O的切線，PBC是過點(diǎn)O的割線，
∴PA²=PB•PC．
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．
∴∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{5}$，
連接CE，則∠ABC=∠E，
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，…
∴AD•AE=AB•AC=3$\sqrt{5}$×6$\sqrt{5}$=90．
故答案為：90．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．