Question

一個(gè)直徑AB等于2的半圓，過A作這個(gè)圓所在平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)S，使AS=AB，C為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為A在SB、SC上的射影．當(dāng)三棱錐S-AMN的體積最大時(shí)，SC與平面ABC所成角的正弦值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：易知BC⊥平面SAC，進(jìn)而結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)，可得SM⊥平面AMN，當(dāng)AN=MN=1時(shí)平面AMN取最大值，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：如下圖所示：SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC，又由BC⊥AC，SA∩AC=A，SA，AC?平面SAC，
∴BC⊥平面SAC，

又由AN?平面SAC，
∴BC⊥AN，
又由AN⊥SC，SC∩BC=C，SC，BC?平面SBC，
∴AN⊥平面SBC，
又由SB?平面SBC，
∴AN⊥SB，
又由AM⊥SB，AN∩AM=A，AN，AM?平面AMN，
∴SB⊥平面AMN，
即SM為三棱錐S-AMN中平面AMN上的高，
∵SA=AB=2，
∴AM=SM=

2

，
而AN⊥MN，
故△AMN是斜邊為

2

的直角三角形，
故當(dāng)AN=MN=1時(shí)，△AMN的面積S取最大值，
此時(shí)三棱錐S-AMN的體積取最大值，
此時(shí)SC與平面ABC所成角∠SCA滿足，
cos∠SCA=

1

2

，
則sin∠SCA=

3

2

，
故答案為：

3

2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積，直線與平面所成的角，其中分析出棱錐體積取最大值時(shí)，AN=1是解答的關(guān)鍵．