Question

已知，，
（1）當m=2時，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的最大值為3．求實數m的值．

Answer 1

解：（1）當m=2時，依題得f（x）=-（2m+）sinx=1+sinx+cos²x-sinx=-（sinx+2）²+6．
又∵x∈[0，]，sinx∈[0，1]，∴f（x）∈[-3，2]．
（2）由于f（x）=-（sinx+m）²+m²+2，
令t=sinx則 g（t）=-（t+m）²+m²+2，t∈[0，1]．
①當-m≤0，即m≥0時，g（t）_max=g（0）=2≠3，不符題意．
②當-m≥1，即m≤-1時，由于g（t）_max=g（1）=3，可得m=-1．
③當0＜-m＜1，即-1＜m＜0時，，m無 解．
綜上知：m=-1．
分析：（1）當m=2時，依題利用兩個向量的數量積公式求得f（x）=-（sinx+2）²+6，由x的范圍求得sinx的范圍，從而得到f（x）的值域．
（2）由于f（x）=-（sinx+m）²+m²+2，令t=sinx則 g（t）=-（t+m）²+m²+2，t∈[0，1]．分-m≤0、-m≥1、0＜-m＜1三種情況，利用二次函數的性質求得g（t）_max的值，再根據g（t）_max=3求出m的值．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式的應用，二次函數的性質，求函數的值域，屬于中檔題．