Question

（1）已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc；
（2）求證：

6

+

7

＞2

2

+

5

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：（1）依題意，a、b、c均為正數(shù)，利用基本不等式及不等式的性質(zhì)知b²+c²≥2bc，a（b²+c²）≥2abc；同理可得b（c²+a²）≥2abc；c（a²+b²）≥2abc；于是可證結論成立；
（2）利用分析法，要證原不等式成立，只需證不等號兩端平方之后的不等式成立即可，最后只需證：

42

＞

40

，該式顯然成立，于是可得原不等式成立．

解答： 證明：（1）∵a，b，c是正數(shù)，
∴b²+c²≥2bc，a（b²+c²）≥2abc；
同理可得，b（c²+a²）≥2abc；
c（a²+b²）≥2abc；
又a，b，c是不全相等的正數(shù)，
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc；
（2）要證明：

6

+

7

＞2

2

+

5

成立，
只需證明：6+7+2

6

•

7

＞8+5+2×2

10

成立，
即證：

42

＞

40

，該式顯然成立，
故原不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應用，突出分析法的考查，屬于中檔題．