Question

【題目】已知直線l：與曲線C：（，）交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若，，求證：曲線C是一個(gè)圓；

（2）若曲線C過(guò)、，是否存在一定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)Q和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，定點(diǎn)，

【解析】

（1）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為，，由兩點(diǎn)間距離公式及可得，將A，B代入曲線方程，作差化簡(jiǎn)變形即可證明，因而可知曲線C是一個(gè)圓；

（2）由曲線C過(guò)、，可得曲線C為橢圓，且求得標(biāo)準(zhǔn)方程，假設(shè)存在點(diǎn) ，設(shè)交點(diǎn)為，，聯(lián)立直線與橢圓，并由韋達(dá)定理表示出，,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)即可確定所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，亦可求得的值.

（1）證明：設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為，

，

即，

∴

∵A，B在曲線C上，

∴，，

∴兩式相減得

∴即,所以，

∴曲線C是一個(gè)圓.

（2）由題意知，橢圓C的方程為,

假設(shè)存在點(diǎn) ，設(shè)交點(diǎn)為，，

由得，,

，,

直線l：恒過(guò)橢圓內(nèi)定點(diǎn)，故恒成立.

當(dāng)時(shí)，即，時(shí),

故存在定點(diǎn)，不論k為何值，為定值.