Question

（2013•武漢模擬）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知acosB-bsinB=c．
（Ⅰ）若B=

π

6

，求A；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinB不為0求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由第一問得到cosA=-sinB，代入原式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知條件及正弦定理，得sinAcosB-sin²B=sinC，
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinAcosB-sin²B=sin（A+B），即sinAcosB-sin²B=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=-sin²B，
∵sinB≠0，
∴cosA=-sinB=-sin

π

6

=-

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

2π

3

；       
（Ⅱ）由（Ⅰ），得cosA=-sinB，
∴sinA+sinB=sinA-cosA=

2

sin（A-

π

4

）．
又cosA=-sinB=cos（

π

2

+B），
∴A=

π

2

+B，
∵A+B＜π，
∴

π

2

＜A＜

3π

4

，
∴

π

4

＜A-

π

4

＜

π

2

，
∴

2

2

＜sin（A-

π

4

）＜1，
∴1＜

2

sin（A-

π

4

）＜

2

．           
則sinA+sinB的取值范圍為（1，

2

）．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．