Question

20．已知f（x）=|x-a|+|x-3|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-3|≥|x-1-x+3|=2，即可求f（x）的最小值；
（2）x∈R時(shí)，恒有|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|3-a|，不等式f（x）≤3的解集非空，|3-a|≤3，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-3|≥|x-1-x+3|=2，
∴f（x）的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤3時(shí)取得最小值．
（2）∵x∈R時(shí)，恒有|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|3-a|，
∴不等式f（x）≤3的解集非空，|3-a|≤3，∴0≤a≤6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．