如圖，以A1、A2為焦 點的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C、D、C1、D1，連接CC1與OB交于點H，且有是圓O與坐標軸的交點，c為雙曲線的半焦距.

（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；

（2）試證：對任意正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)；

（3）連接A1C，與雙曲線E交于點F，是否存在實數(shù)，使恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

（1）解：由c=1知B（0，1），

   即，點C在單位圓上，

設雙曲線E的方程為

由點C在雙曲線E上，半焦距c=1有：

所以雙曲線E的方程為：

（2）證明：

得：

設雙曲線E的方程為

①

②
 
   

①代入②，化簡整理得

解得

又

，即雙曲線E的離心率是與c無關的常數(shù).

（3）

假設存在實數(shù)，使恒成立，

有

點點C、F都在雙曲線E上，故有

④
 

③
 

由③得  ⑤

⑤代入④得化簡整理得

即（2）小題的結(jié)論得：

故存在實數(shù)，使恒成立.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，以A1，A2為焦點的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C，D，C1，D1，連接CC1與OB交于點H，且有：
OH
=(3+2
3
)
HB
．其中A1，A2，B是圓O與坐標軸的交點，c為雙曲線的半焦距．
（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對任意正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)．
（3）連接A1C與雙曲線E交于F，是否存在
實數(shù)λ，使
A1F
=λ
FC
恒成立，若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

隨機抽取某產(chǎn)品n件，測得其長度分別為以a1，a2，…，an，則如圖所示的程序框圖輸出的s=
a1+a2+a2+…+an
n
a1+a2+a2+…+an
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，以A1、A2為焦 點的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C、D、C1、D1，連接CC1與OB交于點H，且有是圓O與坐標軸的交點，c為雙曲線的半焦距.

（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；

（2）試證：對任意正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)；

（3）連接A1C，與雙曲線E交于點F，是否存在實數(shù)，使恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年高考數(shù)學壓軸試卷集錦（10）（解析版） 題型：解答題

如圖，以A1，A2為焦點的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C，D，C1，D1，連接CC1與OB交于點H，且有：．其中A1，A2，B是圓O與坐標軸的交點，c為雙曲線的半焦距．
（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對任意正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)．
（3）連接A1C與雙曲線E交于F，是否存在
實數(shù)λ，使=λ恒成立，若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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