Question

14．已知命題：在互相內(nèi)切的兩個圓的間隙中，依次作3個內(nèi)切圓，若所作的圓除首末兩個外各依次相切，則有$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{2}{{r}_{2}}$+$\frac{1}{{r}_{3}}$=0（其中r_i，i=1，2，3依次表示3個內(nèi)切圓的半徑）；在互相內(nèi)切的兩個圓的間隙中，依次作4個內(nèi)切圓，若所作的圓除首末兩個外各依次相切，則有$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{3}{{r}_{2}}$+$\frac{3}{{r}_{3}}$-$\frac{1}{{r}_{4}}$=0（其中r_i，i=1，2，3，4依次表示3個內(nèi)切圓的半徑）；…；類比上述結(jié)論得到一般的命題是：在互相內(nèi)切的兩個圓的間隙中，依次作n個內(nèi)切圓，若所作的圓除首末兩個外各依次相切，則有：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{r}_{1}}-\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{r}_{2}}$+…+$（-1）^{n-1}•\frac{{C}_{n-1}^{n-1}}{{r}_{n}}$=0（其中y_i，i=1，2，…，n依次表示n個內(nèi)切圓的半徑）．

Answer 1

分析 根據(jù)所給結(jié)論，系數(shù)與二項式的系數(shù)有關(guān)，而且正負(fù)相間，可得一般的命題

解答 解：根據(jù)所給結(jié)論，系數(shù)與二項式的系數(shù)有關(guān)，而且正負(fù)相間，可得一般的命題是：在互相內(nèi)切的兩個圓的間隙中，依次作n個內(nèi)切圓，若所作的圓除首末兩個外各依次相切，則有：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{r}_{1}}-\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{r}_{2}}$+…+$（-1）^{n-1}•\frac{{C}_{n-1}^{n-1}}{{r}_{n}}$=0．
故答案為：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{r}_{1}}-\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{r}_{2}}$+…+$（-1）^{n-1}•\frac{{C}_{n-1}^{n-1}}{{r}_{n}}$=0．

點評 本題主要考查類比推理．類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（或猜想）．