P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)，P與兩焦點(diǎn)連線(xiàn)互相垂直，且P到兩準(zhǔn)線(xiàn)距離分別為6、12，則橢圓方程為
 
．
分析：先根據(jù)P到兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離求得
a2
c
=9，進(jìn)而根據(jù)橢圓的第二定義可知|PF1|=6e，|PF2|=12e，根據(jù)P與兩焦點(diǎn)連線(xiàn)互相垂直利用勾股定理建立等式求得a，進(jìn)而求得c，最后根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓方程可得．
解答：解：因?yàn)镻到兩準(zhǔn)線(xiàn)距離分別為6、12，不妨設(shè)P到左準(zhǔn)線(xiàn)距離為6，那么12+6=2
a2
c
，即
a2
c
=9
因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)的距離之比為離心率e，
所以|PF1|=6e，|PF2|=12e
又因?yàn)镻F1垂直于PF2，
所以|F1F2|2=（6e）2+（12e）2=180e2=4c2，
所以a2=45
由
a2
c
=9得c=5，
∴b2=a2-c2=20
因此，橢圓方程為
x2
45
+
y2
20
=1
故答案為
x2
45
+
y2
20
=1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的定義；解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的第二定義．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱(chēng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過(guò)點(diǎn)(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線(xiàn)x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么請(qǐng)你畫(huà)出動(dòng)點(diǎn)Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M1滿(mǎn)足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的“伴隨圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點(diǎn)M、N．當(dāng)P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求l1與l2的方程，并求線(xiàn)段|
MN
|的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1、F2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(-1，
2
2
)在橢圓上，線(xiàn)段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿(mǎn)足
PM
=
MF2
．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)F2作不與x軸重合的直線(xiàn)l，l與圓x2+y2=a2+b2相交于A、B并與橢圓相交于C、D，當(dāng)
F1A
•
F1B
=λ，且λ∈[
2
3
，1]時(shí)，求△F1CD的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè) P（x，y），Q（x′，y′） 是橢圓 
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的兩點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①a2+b2≥（x+y）2；②
1
x2
+
1
y2
≥(
1
a
+
1
b
)2；③
a2
x2
+
b2
y2
≥4；④
xx′
a2
+
yy′
b2
≤1．其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•河?xùn)|區(qū)二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，M橢圓上的任意一點(diǎn)，|MF|的最大值與最小值的算術(shù)平均等于4，橢圓的頂點(diǎn)A與N（-2，0）關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)，求此橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，記∠F1PF2=θ，求證|PF1|•|PF2|=
2b2
1+cosθ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•靜安區(qū)一模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2（c，0），c2是a2與b2的等差中項(xiàng)，其中a、b、c都是正數(shù)，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為
3
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A1（0，2），求△F1PA1面積的最大值；
（3）已知定點(diǎn)E（-1，0），直線(xiàn)y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點(diǎn)．證明：對(duì)任意的t＞0，都存在實(shí)數(shù)k，使得以線(xiàn)段CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)．

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