Question

已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；(2)的取值范圍是

【解析】

試題分析：（1）本題較易，注意利用已知條件建立方程組解得，

即得所求.

（2）從確定三角形的面積表達式入手，建立的不等式

.通過設(shè)直線的方程為，建立方程組并整理，建立的不等關(guān)系；

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標滿足，，

得到線段的垂直平分線的方程為，

求得此直線與軸，軸的交點坐標分別為，，

從而利用，整理得，，

將上式代入的不等關(guān)系式，得到的不等式.

試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，

由題設(shè)得解得，

 所以雙曲線方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，點的坐標滿足方程組，整理得，此方程有兩個不等實根，

于是且，

整理得......③

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標滿足，，

從而線段的垂直平分線的方程為，

此直線與軸，軸的交點坐標分別為，，

由題設(shè)可得，整理得，，

將上式代入③式得，

整理得，，解得或，

所以的取值范圍是

考點：雙曲線的標準方程、幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，三角形面積公式.